Asie, mars 2023

On considère la fonction  \(f\) définie sur  \(\mathbb{R}\) par  \(f(x) = \ln\left( \mathrm{e}^{2x} - \mathrm{e}^x + 1\right)\) .
On note  \(C_f\) sa courbe représentative représentée ci-dessous.

Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique.

\(\begin{array}{|}\hline\textbf{1.}\;\text{L’équation}\; f(x) = 2\; \text{semble admettre au moins une solution.}\\\textbf{2.}\;\text{Le plus grand intervalle sur lequel la fonction}\;f\; \text{semble être croissante est}\; [-0, 5\; ; +\infty[.\\\textbf{3.}\;\text{L’équation de la tangente au point d’abscisse}\; x=0\;\text{semble être :}\; y=1,5 x\\\hline\end{array}\)

Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction \(f\) .

Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire

On définit sur  \(\mathbb{R}\) la fonction  \(g\) définie par  \(g(x)= \mathrm{e}^{2x}-e^x+1\) .

1. Déterminer \(\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)\) .

2. Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty}g(x)=+\infty\) .

3. Montrer que \(g^{\prime}(x)= \mathrm{e}^{x}(2e^x-1)\)  pour tout \(x\in \mathbb{R}\) .

4. Étudier le sens de variation de la fonction  \(g\) sur \(\mathbb{R}\) . Dresser le tableau des variations de la fonction  \(g\) en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s’il y en a, ainsi que les limites de  \(g\) en  \(-\infty\) et \(+\infty\) .

5. En déduire le signe de  \(g\) sur \(\mathbb{R}\) .

6. Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question  \(5\) en posant \(X= \mathrm{e}^x\) .

Partie B

1. Justifier que la fonction  \(f\) est bien définie sur \(\mathbb{R}\) .

2. La fonction dérivée de la fonction  \(f\) est notée \(f^{\prime}\) . Justifier que  \(f^{\prime}(x)=\dfrac{g^{\prime}(x)}{g(x)}\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\) .

3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(0\) .

4. Montrer que la fonction  \(f\) est strictement croissante sur \([- \ln(2) \;; +\infty[\) .

5. Montrer que l’équation \(f(x) = 2\)  admet une unique solution  \(\alpha\) sur  \([- \ln(2) \;; +\infty[\) et déterminer une valeur approchée de  \(\alpha\) à \(10^{-2}\)  près.

Partie C

À l’aide des résultats de la partie B, indiquer, pour chaque conjecture de l’élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier.