Asie, mars 2023

On considère la fonction  $f$ définie sur  $\mathbb{R}$ par  $f(x)=\ln ({\mathrm{e}}^{2x}-{\mathrm{e}}^x+1)$ .
On note  $C_f$ sa courbe représentative représentée ci-dessous.

Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique.

$\begin{array}{||}\hline \mathbf{\text{1.}}\text{L’équation}f(x)=2\text{semble admettre au moins une solution.}\\ \mathbf{\text{2.}}\text{Le plus grand intervalle sur lequel la fonction}f\text{semble être croissante est}[-0,5;+\mathrm{\infty }[.\\ \mathbf{\text{3.}}\text{L’équation de la tangente au point d’abscisse}x=0\text{semble être :}y=1,5x\\ \hline\end{array}$

Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction $f$ .

Partie A - Étude d’une fonction auxiliaire

On définit sur  $\mathbb{R}$ la fonction  $g$ définie par  $g(x)={\mathrm{e}}^{2x}-e^x+1$ .

1. Déterminer $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}g(x)$ .

2. Montrer que $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}g(x)=+\mathrm{\infty }$ .

3. Montrer que $g^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x(2e^x-1)$  pour tout $x\in \mathbb{R}$ .

4. Étudier le sens de variation de la fonction  $g$ sur $\mathbb{R}$ . Dresser le tableau des variations de la fonction  $g$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s’il y en a, ainsi que les limites de  $g$ en  $-\mathrm{\infty }$ et $+\mathrm{\infty }$ .

5. En déduire le signe de  $g$ sur $\mathbb{R}$ .

6. Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question  $5$ en posant $X={\mathrm{e}}^x$ .

Partie B

1. Justifier que la fonction  $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}$ .

2. La fonction dérivée de la fonction  $f$ est notée $f^{\prime }$ . Justifier que  $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}}$ pour tout $x\in \mathbb{R}$ .

3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ .

4. Montrer que la fonction  $f$ est strictement croissante sur $[-\ln (2);+\mathrm{\infty }[$ .

5. Montrer que l’équation $f(x)=2$  admet une unique solution  $\alpha$ sur  $[-\ln (2);+\mathrm{\infty }[$ et déterminer une valeur approchée de  $\alpha$ à ${10}^{-2}$  près.

Partie C

À l’aide des résultats de la partie B, indiquer, pour chaque conjecture de l’élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier.